16792. Положительные числа a
, b
, c
, d
удовлетворяют соотношениям
a^{2}+d^{2}-ad=b^{2}+c^{2}+bc~\mbox{и}~a^{2}+b^{2}=c^{2}+d^{2}.
Найдите все возможные значения выражения \frac{ab+cd}{ad+bc}
.
Ответ. \frac{\sqrt{3}}{2}
.
Решение. Пусть
a^{2}+d^{2}-ad=b^{2}+c^{2}+bc=x^{2}.
Тогда существуют два треугольника с общей стороной x
: первый со сторонами a
и d
и углом 60^{\circ}
между ними; второй со сторонами b
и c
и углом 120^{\circ}
между ними. Следовательно, существует четырёхугольник со сторонами a
, b
, c
, d
(в некотором порядке) и противоположными углами 120^{\circ}
и 60^{\circ}
. Этот четырёхугольник вписанный. Его площадь S_{1}
равна сумме площадей указанных треугольников, т. е.
S_{1}=\frac{1}{2}ad\sin60^{\circ}+\frac{1}{2}bc\sin120^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{4}(ad+bc),
откуда ad+bc=\frac{4S_{1}}{\sqrt{3}}
.
Пусть
a^{2}+b^{2}=c^{2}+d^{2}=y^{2}.
Тогда существуют два прямоугольных треугольника с общей гипотенузой y
: один с катетами a
и b
, другой с катетами c
и d
. Следовательно, существует четырёхугольник со сторонами a
, b
, c
, d
(в некотором порядке) и противоположными прямыми углами. Он тоже вписанный, а его площадь
S_{2}=\frac{1}{2}(ab+cd),
откуда ab+cd=2S_{2}
.
Поскольку площадь S
вписанного четырёхугольника можно вычислить по формуле Брахмагупты (см. задачу 730)
S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)},
то она зависит только от длин сторон и не зависит от их порядка. Значит, S_{1}=S_{2}=S
. Следовательно,
\frac{ab+cd}{ad+bc}=\frac{2S}{\frac{4S_{1}}{\sqrt{3}}}=\frac{\sqrt{3}}{2}.
Эту же идею можно реализовать иначе. Пусть, по-прежнему,
a^{2}+b^{2}=c^{2}+d^{2}=y^{2}.
На отрезке AC=y
как на диаметре построим окружность, на одной из полуокружностей построим точку B
, для которой AB=a
, а на другой — точку D
, для которой AD=d
. Углы ABC
и ADC
прямые, поэтому BC=b
и DC=c
. Обозначим \angle BAD=\alpha
. Четырёхугольник ABCD
вписанный, поэтому \angle BCD=180^{\circ}-\alpha
. По теореме косинусов из треугольников ABD
и CBD
получаем
BD^{2}=a^{2}+d^{2}-2ad\cos\alpha=b^{2}+c^{2}+2bc\cos\alpha.
Вычитая из этого равенства данное равенство
a^{2}+d^{2}-ad=b^{2}+c^{2}+bc,
получим, что
ad(1-2\cos\alpha)=-bc(1-2\cos\alpha)~\Leftrightarrow~(1-2\cos\alpha)(ad+bc)=0,
а так как ad+bc\gt0
, то \cos\alpha=\frac{1}{2}
. Тогда \sin\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}
.
Теперь заметим, что
\frac{ab+cd}{ad+bc}=\frac{\left(\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}cd\right)\sin\alpha}{\left(\frac{1}{2}ad+\frac{1}{2}bc\right)\sin\alpha}=\frac{S_{\triangle ABC}+S_{\triangle ADC}}{S_{\triangle BAD}+S_{\triangle BCD}}\cdot\sin\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2},
так как числитель и знаменатель последней дроби равны площади четырёхугольника ABCD
.
Источник: Московская математическая регата. — 2023, 11 класс, задача 4.1