16794. В треугольнике ABC
проведена медиана AD
. Известно, что \angle ADB=45^{\circ}
и \angle CAD=15^{\circ}
. Найдите \angle BAD
.
Ответ. 30^{\circ}
.
Решение. Из условия следует, что ADB
— внешний угол треугольника ADC
, поэтому
\angle ACD=\angle ADB-\angle CAD=30^{\circ}.
Проведём отрезок DE
так, что \angle ADE=15^{\circ}
. Тогда в треугольнике ADE
два угла равны, поэтому треугольник равнобедренный (AE=ED
), а так как DEC
— внешний угол треугольника ADE
, то
\angle DEC=\angle EAD+\angle EDA=30^{\circ}=\angle DCE.
Значит, ED=DC=DB
.
Таким образом, медиана ED
треугольника BEC
равна половине стороны BC
, поэтому этот треугольник прямоугольный с прямым углом при вершине E
(см. задачу 1188). Кроме того, так как \angle BCE=30^{\circ}
, то
BE=\frac{1}{2}BC=DE=AE.
Значит, треугольник AEB
равнобедренный и прямоугольный, поэтому \angle BAE=45^{\circ}
. Следовательно,
\angle BAD=\angle BAE-\angle EAD=30^{\circ}.
Примечание. Возможна и другая последовательность рассуждений. Можно по-другому определить точку E
, сразу проведя высоту BE
треугольника ABC
, и воспользоваться тем, что BEC
— прямоугольный треугольник с углом 30^{\circ}
при вершине C
, а DE
— его медиана. В этом случае, надо отдельно доказать, что точка E
не может лежать на продолжении стороны AC
, т. е., что угол BAC
острый. Это можно сделать, например, методом «от противного».
В заключительной части решения можно воспользоваться тем, что треугольник BDE
равносторонний.
Источник: Московская математическая регата. — 2024, 7 класс, задача 2.2