16799. Через точку M
, лежащую внутри окружности и отличную от её центра, проведены три хорды, причём угол между каждыми двумя соседними равен 60^{\circ}
. Образовалось шесть отрезков, у которых один конец лежит на окружности, а другой — в точке M
. Докажите, что сумма длин трёх отрезков, взятых через один, равна сумме длин других трёх отрезков.
Решение. Рассмотрим случай, изображённый на рисунке. Пусть через точку M
проведены указанным образом хорды AD
, BE
и CF
. Из центра O
окружности опустим перпендикуляры OK
, OL
и OP
на AD
, BE
и CF
соответственно. Тогда точки K
, L
и P
— середины соответствующих хорд и лежат на окружности с диаметром OM
.
По свойству углов, вписанных в окружность,
\angle PKL=\angle PML=60^{\circ}~\mbox{и}~\angle KPL=\angle KML=60^{\circ}.
Значит, треугольник PKL
равносторонний. По теореме Помпею (см. задачу 17)
ML=MK+MP.
Докажем, что одна из двух сумм в условии равна полусумме длин хорд AD
, BE
и CF
. Тогда вторая сумма также будет равна этой же величине, откуда и будет следовать утверждение задачи. Действительно,
AM+CM+EM=AK-MK+CP-MP+EL+ML=
=AK+CP+EL=\frac{1}{2}(AD+BE+CF).
Источник: Московская математическая регата. — 2024, 9 класс, задача 4.2