16802. N\gt2
прямых, проходящих через фиксированную точку, делят плоскость на 2N
равных углов. Из произвольной точки плоскости, не принадлежащей ни одной из данных прямых, опущены перпендикуляры на эти прямые. Докажите, что основания перпендикуляров являются вершинами правильного многоугольника.
Решение. Пусть A
— точка, через которую проходят прямые a_{1}
, a_{2}
,…, a_{N}
, B
— точка, из которой опущены перпендикуляры BB_{1}
, BB_{2}
,…,BB_{N}
, O
— середина отрезка AB
(см. рис.). Каждый из отрезков OB_{i}
является медианой прямоугольного треугольника AB_{i}B
, значит, каждый из них равен половине AB
(см. задачу 1109). Следовательно, все точки B_{i}
лежат на окружности с центром O
и диаметром AB
.
Рассмотрим дугу этой окружности, заключённую между двумя соседними точками B_{i}
и B_{i+1}
. Её угловая величина в два раза больше величины вписанного угла B_{i+1}AB_{i}
, т. е. угла между двумя соседними прямыми a_{i}
и a_{i+1}
. По условию, углы между любыми двумя соседними прямыми равны, значит, все точки B_{i}
делят окружность на равные дуги, поэтому они являются вершинами правильного N
-угольника.
Можно рассуждать немного по-другому. Из каждой точки B_{i}
отрезок AB
виден под прямым углом, поэтому все такие точки лежат на окружности с диаметром AB
. Вписанный в эту окружность угол между соседними перпендикулярами равен углу между соседними прямыми, к которым они проведены, поэтому точки B_{i}
делят окружность на равные дуги.
Источник: Московская математическая регата. — 2024, 10 класс, задача 2.2