16814. Петя хотел нарисовать правильный треугольник ABC
. Но, поскольку он рисовал неточно, получился треугольник с углами \angle A=59^{\circ}
и \angle B=63^{\circ}
. Потом Петя провёл высоты CE
и BD
, но, поскольку треугольник был слегка перекошен, получил углы \angle ADB=\angle AEC=92^{\circ}
. Найдите градусную меру угла AED
.
Ответ. 58^{\circ}
.
Решение. Заметим, что
\angle BDC=5\angle BEC=180^{\circ}-92^{\circ}=88^{\circ}.
Значит, точки B
, C
, D
и E
лежат на одной окружности (см. задачу 12), т. е. ABCD
— вписанный четырёхугольник. Тогда (см. задачу 6)
\angle AED=180^{\circ}-\angle BED=\angle BCD.
Следовательно,
\angle AED=\angle BCD=180^{\circ}-\angle ABC-\angle BAC=180^{\circ}-63^{\circ}-59^{\circ}=58^{\circ}.
Источник: Математическая олимпиада МГУ «Покори Воробьёвы горы». — 2013-2014, заключительный тур, 8 и 9 классы, задача 2