16817. В треугольнике ABC
стороны AB
и BC
соответственно равны 3 и 1. Биссектриса BD
треугольника равна \sqrt{2}
. Найдите угол BAC
.
Ответ. \arccos\frac{5\sqrt{3}}{9}
.
Решение. По свойству биссектрисы треугольника (см. задачу 1509)
\frac{CD}{AD}=\frac{BC}{AB}=\frac{1}{3}.
Положим CD=x
и AD=3x
.
Первый способ. Пусть \angle BAC=\alpha
. По теореме косинусов из треугольников BAD
и BAC
получаем
\cos\alpha=\frac{AB^{2}+AD^{2}-BD^{2}}{2AB\cdot AD}=\frac{AB^{2}+AC^{2}-BC{2}}{2AB\cdot AC},
или
\frac{9+9x^{2}-2}{2\cdot3\cdot3x}=\frac{9+16x^{2}-1}{2\cdot3\cdot4x},~\mbox{или}~\frac{7+9x^{2}-2}{18x}=\frac{8+16x^{2}}{24x},
Условию задачи удовлетворяет единственный корень x=\frac{1}{\sqrt{3}}
этого уравнения. Значит,
\cos\alpha=\frac{8+16x^{2}}{24x}=\frac{1+2x^{2}}{3x}=\frac{1+\frac{2}{3}}{\sqrt{3}}=\frac{5}{3\sqrt{3}}.
Следовательно,
\angle BAC=\alpha=\arccos\frac{5}{3\sqrt{3}}=\arccos\frac{5\sqrt{3}}{9}.
Второй способ. По формуле для квадрата биссектрисы треугольника (см. задачу 791) получаем
BD^{2}=AB\cdot BC-AD\cdot DC,~\mbox{или}~2=3\cdot1-3x^{2},
откуда x=\frac{1}{\sqrt{3}}
— единственный корень этого уравнения, удовлетворяющий условию задачи.
По теореме косинусов из треугольника ABC
получаем
\angle BAC=\frac{9+16x^{2}-1}{2\cdot3\cdot4x}=\frac{1+2x^{2}}{3x}=\frac{1+\frac{2}{3}}{\sqrt{3}}=\frac{5}{3\sqrt{3}}.
Следовательно,
\angle BAC=\alpha=\arccos\frac{5}{3\sqrt{3}}=\arccos\frac{5\sqrt{3}}{9}.
Источник: Математическая олимпиада МГУ «Покори Воробьёвы горы». — 2013-2014, март 2014, закл. тур, 10 класс, задача 2, вариант 3-1