16819. Треугольник ABC
вписан в окружность с центром O
. Биссектрисы внутренних углов треугольника при вершинах A
и B
пересекают описанную окружность в точках A_{1}
и B_{1}
соответственно. Угол между биссектрисами равен 60^{\circ}
. Сторона AB
равна 3. Найдите площадь треугольника A_{1}B_{1}O
.
Ответ. \frac{3\sqrt{3}}{4}
.
Решение. Пусть I
— точка пересечения биссектрис треугольника ABC
. Поскольку
\angle A_{1}IB_{1}=180^{\circ}-\angle A_{1}IB=180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ},
а, с другой стороны (см. задачу 4770),
\angle A_{1}IB_{1}=90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle ACB,
то
\angle ACB=2(\angle A_{1}IB_{1}-90^{\circ})=2(120^{\circ}-90^{\circ})=60^{\circ}.
В то же время, A_{1}
и B_{1}
середины меньших дуг соответственно BC
и AC
описанной окружности треугольника ABC
(см. задачу 430), поэтому OA_{1}
и OB_{1}
— серединные перпендикуляры к отрезкам BC
и AC
соответственно. Значит,
\angle A_{1}OB_{1}=180^{\circ}-\angle ACB=180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}.
Пусть радиус описанной окружности треугольника ABC
равен R
. Тогда по теореме синусов
R=\frac{AB}{2\sin\angle ACB}=\frac{3}{2\sin60^{\circ}}=\sqrt{3}.
Следовательно,
S_{\triangle A_{1}B_{1}O}=\frac{1}{2}OA_{1}\cdot OPB_{1}\sin\angle A_{1}OB_{1}=\frac{1}{2}R^{2}\sin120^{\circ}=\frac{1}{2}\cdot3\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{4}.
Источник: Математическая олимпиада МГУ «Покори Воробьёвы горы». — 2013-2014, март 2014, закл. тур, 11 класс, задача 2, вариант 4-1