16820. В четырёхугольник ABCD
вписана окружность с центром O
, при этом \angle AOB=75^{\circ}
и AB=3
. Найдите площадь круга, ограниченного описанной вокруг треугольника ABE
окружностью, где E
— точка пересечения прямых AD
и BC
.
Ответ. 9\pi
.
Решение. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла (см. задачу 1724), поэтому AO
и BO
— биссектрисы внешних углов при вершинах A
и B
треугольника ABE
. Значит (см. задачу 4770),
75^{\circ}=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle AEB,
откуда
\angle AEB=2(90^{\circ}-75^{\circ}=30^{\circ}.
Пусть R
— радиус описанной окружности треугольника ABE
, а площадь круга, ограниченного этой окружностью, равна S
. По теореме синусов находим, что
R=\frac{AB}{2\sin\angle AEB}=\frac{3}{2\sin30^{\circ}}=3.
Следовательно,
S=\pi R^{2}=9\pi.
Источник: Математическая олимпиада МГУ «Покори Воробьёвы горы». — 2013-2014, март 2014, закл. тур, 11 класс, задача 3, вариант 5-1