16824. Точки M
и N
делят сторону AC
треугольника ABC
на три части, каждая из которых равна 2, причём AB\perp BM
и BC\perp BN
. Найдите площадь треугольника ABC
.
Ответ. 3\sqrt{3}
.
Решение. Заметим, что точки M
и N
расположены на стороне AC
в порядке A
, N
, M
, C
(иначе угол B
был бы больше 180^{\circ}
).
Опустим из вершины B
перпендикуляр BH
на прямую AC
. Тогда BH
— общая высота прямоугольных треугольников ABM
и CBN
, проведённая из вершин прямых углов. Значит, точка H
лежит на отрезке MN
.
Обозначим NH=x
. Тогда MH=2-x
. Получаем (см. задачу 2728)
(2+x)(2-x)=AH\cdot MH=BH^{2}=NH\cdot CH=x(4-x),
откуда x=1
. Следовательно,
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BH=\frac{1}{2}AC\cdot\sqrt{AH\cdot MH}=\frac{1}{2}\cdot6\cdot\sqrt{3\cdot1}=3\sqrt{3}.
Источник: Математическая олимпиада МГУ «Покори Воробьёвы горы». — 2012-2013, март 2013, закл. тур, 11 класс, задача 3, вариант 2-1