16826. В четырёхугольник ABCD
со сторонами AB=2
, BC=4
, CD=5
вписали окружность и около него описали описали окружность. Найдите площадь четырёхугольника.
Ответ. 2\sqrt{30}
.
Решение. Поскольку в четырёхугольник ABCD
можно вписать окружность, суммы его противоположных сторон равны, поэтому
AB+CD=BC+AD~\Rightarrow~AD=AB+CD-BC=2+5-4=3.
Обозначим \angle BCD=\alpha
. Поскольку около четырёхугольника ABCD
можно описать окружность, суммы его противоположных углов равны 180^{\circ}
, поэтому
\angle ACD=180^{\circ}-\alpha.
Выразив квадрат диагонали AC
по теореме косинусов из треугольников BCD
и BAD
и учитывая, что \cos(180^{\circ}-\alpha)=-\cos\alpha
, получим
16+25-2\cdot\cdot4\cdot5\cos\alpha=4+9+2\cdot2\cdot3\cos\alpha,
откуда \cos\alpha=\frac{7}{13}
. Тогда
\sin\alpha=\sqrt{1-\frac{49}{169}}=\frac{2\sqrt{30}}{13}.
Следовательно,
S_{ABCD}=S_{\triangle BCD}+S_{\triangle BAD}=\frac{1}{2}\cdot4\cdot5\sin\alpha+\frac{1}{2}\cdot2\cdot3\sin(180^{\circ}-\alpha)=
=10\sin\alpha+4\sin\alpha=13\sin\alpha=13\cdot\frac{2\sqrt{30}}{13}=2\sqrt{30}.
Примечание. Также можно воспользоваться формулой площади вписанно-описанного четырёхугольника со сторонами a
, b
, c
, d
, т. е.
S=\sqrt{abcd}=\sqrt{2\cdot4\cdot5\cdot3}=2\sqrt{30}
(см. задачу 2859).
Источник: Математическая олимпиада МГУ «Покори Воробьёвы горы». — 2014-2015, март 2015, закл. тур, 11 класс, задача 3, вариант 7-1