16829. Окружности с центрами O_{1}
и O_{2}
пересекаются внешним образом в точках A
и B
(т. е. точки O_{1}
и O_{2}
лежат по разные стороны от прямой AB
). Известно, что \angle AO_{1}B=\alpha
, \angle AO_{2}B=\beta
и O_{1}O_{2}=a
. Найдите радиусы окружностей.
Ответ. \frac{a\sin\frac{\beta}{2}}{\sin\frac{\alpha+\beta}{2}}
, \frac{a\sin\frac{\alpha}{2}}{\sin\frac{\alpha+\beta}{2}}
.
Решение. Пусть R_{1}
и R_{2}
— радиусы данных окружностей с центрами O_{1}
и O_{2}
соответственно, а H
— точка пересечения отрезков AB
и O_{1}O_{2}
. Тогда AB\perp O_{1}O_{2}
, H
— середина отрезка AB
(см. задачу 1130) и прямая O_{1}O_{2}
содержит биссектрисы углов AO_{1}B
и AO_{2}B
.
Из прямоугольных треугольников AHO_{1}
и AHO_{2}
получаем
AH=R_{1}\sin\frac{\alpha}{2}=R_{2}\sin\frac{\beta}{2},~O_{1}H=R_{1}\cos\frac{\alpha}{2},~O_{2}H=R_{2}\cos\frac{\beta}{2}.
Тогда
O_{1}H+O_{2}H=O_{1}O_{2},~\mbox{или}~R_{1}\cos\frac{\alpha}{2}+R_{2}\cos\frac{\beta}{2}=a.
Из системы
\syst{R_{1}\sin\frac{\alpha}{2}=R_{2}\sin\frac{\beta}{2}\\R_{1}\cos\frac{\alpha}{2}+R_{2}\cos\frac{\beta}{2}=a\\}
находим, что
R_{1}=\frac{a\sin\frac{\beta}{2}}{\cos\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}+\cos\frac{\beta}{2}\sin\frac{\alpha}{2}}=\frac{\sin\frac{\beta}{2}}{a\sin\frac{\alpha+\beta}{2}},~R_{2}=\frac{\sin\frac{\alpha}{2}}{a\sin\frac{\alpha+\beta}{2}}.
Источник: Математическая олимпиада МГУ «Покори Воробьёвы горы». — 2014-2015, март 2015, закл. тур, 11 класс, задача 4, вариант 5-1