16836. На сторонах AB
и BC
треугольника расположены точки M
и N
соответственно. При этом AM:MB=3:1
и CN:NB=1:7
. Какой процент от площади четырёхугольника AMNC
составляет площадь треугольника MBN
?
Ответ. 28\%
Решение. Пусть площадь треугольника ABC
равна S
. Тогда (см. задачу 3007)
S_{\triangle MBN}=\frac{BM}{BA}\cdot\frac{BN}{BC}S_{\triangle ABC}=\frac{1}{4}\cdot\frac{7}{8}S=\frac{7}{32}S,
поэтому
S_{AMNC}=S_{\triangle ABC}-S_{\triangle MBN}=S-\frac{7}{32}S=\frac{25}{32}S.
Значит,
\frac{S_{\triangle MBN}}{S_{AMNC}}\cdot100=\frac{\frac{7}{32}S}{\frac{25}{32}S}\cdot100=\frac{7}{25}\cdot100=28.
Следовательно, площадь треугольника MBN
составляет 28\%
площади четырёхугольника AMNC
.
Источник: Математическая олимпиада МГУ «Покори Воробьёвы горы». — 2015-2016, март 2016, закл. тур, задача 3, вариант 6-1