16840. В окружности радиуса 5\sqrt{2}
проведены взаимно перпендикулярные хорды, которые точкой пересечения делятся в отношении 6:1
и 2:3
. Найдите расстояние от центра окружности до точки пересечения хорд.
Ответ. \sqrt{26}
.
Решение. Пусть O
— центр окружности, R
— её радиус, K
— точка пересечения данных хорд AC
и BD
, причём AK=6x
, CK=x
, BK=2y
, DK=3y
.
По теореме о произведениях пересекающихся хорд (см. задачу 2627)
AK\cdot CK=BK\cdot DK,~\mbox{или}~6x^{2}=6y^{2},
откуда y=x
.
Пусть OM
и ON
— серединные перпендикуляры к хордам AC
и BD
соответственно. Тогда OMKN
— прямоугольник, поэтому
ON=MK=\left|\frac{1}{2}AC-CK\right|=\frac{7}{2}x-x=\frac{5}{2}x,
BN=\frac{1}{2}BD=\frac{5}{2}y=\frac{5}{2}x,~KN=\left|\frac{1}{2}BD-BK\right|=\frac{5}{2}y-2y=\frac{1}{2}y=\frac{1}{2}x.
По теореме Пифагора
ON^{2}+BN^{2}=OB^{2},~\mbox{или}~\frac{25}{4}x^{2}+\frac{25}{4}x^{2}=50,
откуда x=2
. Следовательно,
OK=\sqrt{ON^{2}+KN^{2}}=\sqrt{\left(\frac{5}{2}x\right)^{2}+\left(\frac{1}{2}x\right)^{2}}=\sqrt{5^{2}+1^{2}}=\sqrt{26}.
Источник: Математическая олимпиада МГУ «Покори Воробьёвы горы». — 2017-2018, март 2018, закл. тур, задача 4, вариант 2-1