16846. Прямая, проходящая через точки, симметричные основанию высоты AD
остроугольного треугольника ABC
относительно сторон AC
и AB
, пересекает эти стороны в точках E
и F
соответственно. Найдите расстояние от точки B
до точки пересечения отрезков BE
и CF
, если AC=b
и \angle ABC=\beta
.
Ответ. b\ctg\beta
.
Решение. Заметим, что BE
— тоже высота треугольника ABC
(см. примечание к задаче 11140). Пусть P
— точка пересечения отрезков BE
и CF
, т. е. ортоцентр треугольника ABC
, O
— центр описанной окружности треугольника, а M
— середина стороны AC=b
. Тогда (см. задачу 1257) BP=2OM
.
Поскольку OM
— высота и биссектриса равнобедренного треугольника AOC
, а
\angle AOM=\frac{1}{2}\angle AOC=\angle ABC=\beta,
то
OM=AM\ctg\angle AOM=\frac{b}{2}\ctg\beta.
Следовательно, BP=b\ctg\beta
.
Источник: Математическая олимпиада МГУ «Покори Воробьёвы горы». — 2017-2018, март 2018, закл. тур, задача 4, вариант 5-1