16849. В выпуклом четырёхугольнике ABCD
известно, что \angle CAD=\angle CDB
и \angle BAD=\angle CDA=60^{\circ}
.
а) Можно ли в четырёхугольник ABCD
вписать окружность?
б) Найдите минимум отношения стороны BC
к стороне AD
.
Ответ. а) Нет; б) \frac{1}{2}
.
Решение. а) Обозначим AB=x
и CD=y
. Достроим четырёхугольник ABCD
до равностороннего треугольника ADE
. Треугольники DEB
и ADC
равны по стороне (DE=AD
) и двум прилежащим к ней углам. Аналогично, равны треугольники AEC
и DAB
. Значит,
AD=DE=CE+CD=AB+CD=x+y.
Условие существования вписанной в четырёхугольник ABCD
окружности имеет вид
AB+CD=BC+AD,~\mbox{или}~x+y=BC+x+y,
что невозможно. Следовательно, в четырёхугольник ABCD
нельзя вписать окружность.
б) По теореме косинусов из треугольника BEC
находим
BC=\sqrt{x^{2}+y^{2}-xy}=\sqrt{(x+y)^{2}-3xy}.
Учитывая что
\sqrt{xy}\leqslant\frac{x+y}{2}
(см. задачу 3399), получаем
\frac{xy}{(x+y)^{2}}\leqslant\frac{1}{4}~\Rightarrow~\frac{BC}{AD}=\frac{\sqrt{(x+y)^{2}-3xy}}{x+y}=\sqrt{1-\frac{3xy}{(x+y)^{2}}}\geqslant\sqrt{1-3\cdot\frac{1}{4}}=\frac{1}{2},
причём равенство достигается при x=y
. Следовательно, минимум отношения \frac{BC}{AD}
равен \frac{1}{2}
.
Источник: Математическая олимпиада МГУ «Покори Воробьёвы горы». — 2018-2019, март 2019, закл. тур, 10-11 классы, задача 4, вариант 2-1