16853. В треугольнике ABC
угол A
равен 2\alpha
, а биссектрисы BD
и CE
пересекаются в точке I
. Найдите наименьший возможный радиус окружности, описанной около треугольника DEI
, если сумма отрезков DI
и EI
равна 2d
.
Ответ. R=\frac{d\sqrt{2(1+\sin\alpha)}}{2\cos\alpha}
.
Решение. Обозначим EI=x
, DI=y
и DE=w
. Тогда (см. задачу 3399)
\sqrt{xy}\leqslant\frac{x+y}{2}~\Rightarrow~4xy\leqslant(x+y)^{2}=4d^{2},
причём равенство достигается при x=y
, а xy
может быть сколь угодно близким к 0 (так как либо угол A
, либо угол B
может быть сколь угодно близким к 0^{\circ}
). Значит, xy\in(0;d^{2}]
.
Поскольку
\angle DIE=90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle BAC=90^{\circ}+\alpha
(см. задачу 4770), то по теореме косинусов
w^{2}=x^{2}+y^{2}-2xy\cos(90^{\circ}+\alpha)=(x+y)^{2}-2xy+2xy\sin\alpha=4d^{2}-2xy(1-\sin\alpha),
т. е.
w^{2}\in[2d^{2}(1+\sin\alpha);4d^{2}).
Пусть радиус описанной окружности треугольника DEI
равен R
. По теореме синусов
R=\frac{w}{2\sin(90^{\circ}+\alpha)}=\frac{w}{2\cos\alpha}.
Значит,
R\in\left[\frac{d\sqrt{2(1+\sin\alpha)}}{2\cos\alpha};\frac{d}{\cos\alpha}\right).
Следовательно, наименьшее значение R
равно \frac{d\sqrt{2(1+\sin\alpha)}}{2\cos\alpha}
.
Источник: Математическая олимпиада МГУ «Покори Воробьёвы горы». — 2018-2019, март 2019, закл. тур, 10-11 классы, задача 4, вариант 6-1