16863. В треугольнике ABC
биссектриса BE
и медиана AD
равны и перпендикулярны. Найдите площадь треугольника ABC
, если AB=\sqrt{13}
.
Ответ. 12.
Решение. Пусть \angle ABD=\beta
, AD=BE=2a
и AB=c
, а F
— точка пересечения AD
и BE
.
Биссектриса BF
треугольника ABD
является его высотой, поэтому треугольник ABC
равнобедренный с основанием AD
. Тогда
BD=AB=c,~BC=2BD=2c.
По формуле для биссектрисы треугольника (см. задачу 4021)
BE=\frac{2AB\cdot BC\cos\frac{\beta}{2}}{AB+BC},~\mbox{или}~2a=\frac{2\cdot c\cdot2c\cdot\cos\frac{\beta}{2}}{c+2c}=\frac{4c\cos\frac{\beta}{2}}{3},
откуда \cos\frac{\beta}{2}=\frac{3}{2}a
.
Из прямоугольного треугольника AFB
получаем, что \sin\frac{\beta}{2}=\frac{a}{c}
, поэтому
\tg\frac{\beta}{2}=\frac{\sin\frac{\beta}{2}}{\cos\frac{\beta}{2}}=\frac{\frac{a}{c}}{\frac{3}{2}a}=\frac{2}{3}.
Тогда
\sin\beta=\frac{2\tg\frac{\beta}{2}}{1+\tg^{2}\frac{\beta}{2}}=\frac{2\cdot\frac{2}{3}}{1+\frac{4}{9}}=\frac{12}{13}.
Следовательно,
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot BC\sin\beta=\frac{1}{2}\cdot c\cdot2c\cdot\sin\beta=c^{2}\sin\beta=13\cdot\frac{12}{13}=12.
Источник: Математическая олимпиада МГУ «Покори Воробьёвы горы». — 2022-2023, апрель 2023, закл.этап, 11 класс, задача 4, вариант 1-1