16865. Через концы дуги AB
с градусной мерой 60^{\circ}
проведены параллельные хорды BC
и AD
, причём хорда BC
в четыре раза меньше хорды AD
. Отрезки AB
и CD
продолжены до пересечения в точке E
. Найдите площадь треугольника AED
, если AC=30
.
Ответ. 240\sqrt{3}
.
Решение. Пусть BC=a
и AD=4a
, CH
— высота равнобедренной трапеции ABCD
, O
— центр окружности. Тогда (см. задачу 1921)
AH=\frac{1}{2}(AD+BC)=\frac{5}{2}a.
Вписанный угол CAD
равен половине соответствующего центрального угла AOB
, т. е. \angle CAD=30^{\circ}
. Из прямоугольного треугольника AHC
находим, что
CH=\frac{1}{2}AC=15~\Rightarrow~AH=15\sqrt{3}~\Rightarrow~\frac{5}{2}a=15\sqrt{3}.
Тогда
S_{ABCD}=\frac{1}{2}(AD+BC)\cdot CH=\frac{5}{2}a\cdot15=15\sqrt{3}\cdot15=225\sqrt{3}.
Треугольник треугольник AED
подобен треугольнику BEC
с коэффициентом k=\frac{AD}{BC}=4
. Тогда
S_{\triangle AED}=k^{2}S_{\triangle BEC}=16S_{\triangle BEC}~\Rightarrow~S_{ABCD}=S_{\triangle AED}-S_{\triangle BEC}=15S_{\triangle BEC}.
Значит,
S_{\triangle BEC}=\frac{1}{15}S_{ABCD}=\frac{1}{15}\cdot25\sqrt{3}=15\sqrt{3}.
Следовательно,
S_{\triangle AED}=16S_{\triangle BEC}=16\cdot15\sqrt{3}=240\sqrt{3}.
Источник: Математическая олимпиада МГУ «Покори Воробьёвы горы». — 2022-2023, апрель 2023, закл.этап, 9 класс, задача 6