16867. Угол при вершине B
треугольника ABC
равен 75^{\circ}
. На высоте BH
выбрана точка D
, для которой угол ADC
равен 105^{\circ}
. Известно, что AD:BC=\frac{1}{\sqrt{3}}
. Найдите угол при вершине C
треугольника.
Ответ. 45^{\circ}
.
Решение. Построим точку E
, симметричную точке D
относительно прямой AC
. Тогда
\angle AEC=\angle ADC=105^{\circ}=180^{\circ}-75^{\circ}=180^{\circ}-\angle ABC.
значит, около четырёхугольника ABCE
можно описать окружность. Вписанные в эту окружность углы AEB
и ACB
опираются на одну и ту же дугу, поэтому они равны. Кроме того, из симметрии \angle ADH=\angle AEH
. Значит,
\angle ADH=\angle AEH=\angle AEB=\angle ACB=\angle HCB.
Прямоугольные треугольники AHD
и BHC
подобны, поэтому
\ctg\angle BAC=\ctg\angle BAH=\frac{AH}{BH}=\frac{AD}{BC}=\frac{1}{\sqrt{3}}.
Тогда \angle BAC=60^{\circ}
. Следовательно,
\angle ACB=180^{\circ}-\angle ABC-\angle BAC=180^{\circ}-75^{\circ}-60^{\circ}=45^{\circ}.
Примечание. Заметим, что точка D
— ортоцентр треугольника ABC
(см. задачу 4785).
Источник: Олимпиада «Росатом». — 2023-2024, февраль 2024, закл. тур, 10 класс, задача 5, вариант 1