16873. Три окружности K_{1}
, K_{2}
и K_{3}
с радиусами 1, 4 и 3 соответственно попарно касаются друг друга внешним образом. Четвёртая окружность K_{4}
касается внешним образом окружностей K_{1}
и K_{3}
, её центр лежит на прямой, проходящей через центры окружностей K_{1}
и K_{2}
, и расположен вне отрезка, соединяющего их центры. Найдите радиус четвёртой окружности.
Ответ. \frac{8}{7}
.
Указание. См. задачу 16872.
Решение. Пусть O_{1}
, O_{2}
, O_{3}
и O_{4}
— центры окружностей K_{1}
, K_{2}
, K_{3}
и K_{4}
соответственно (см. рис.), а x
— радиус окружности K_{4}
. Расстояние между центрами окружностей, касающихся внешним образом, равно сумме их радиусов, поэтому стороны треугольника O_{2}O_{3}O_{4}
равны
O_{2}O_{3}=4+3=7,~O_{2}O_{4}=4+1+1+x=6+x,~O_{3}O_{4}=3+x,
а отрезок O_{3}O_{1}
равен 4.
Обозначим \angle O_{3}O_{2}O_{4}=\angle O_{3}O_{2}O_{1}=\alpha
. По теореме косинусов из треугольника O_{1}O_{2}O_{3}
со сторонами O_{1}O_{3}=4
, O_{1}O_{2}=5
и O_{2}O_{3}=7
находим, что
\cos\alpha=\frac{25+49-16}{2\cdot5\cdot7}=\frac{29}{35}.
Аналогично, из треугольника O_{2}O_{3}O_{4}
получаем
\cos\alpha=\frac{49+(6+x)^{2}-(3+x)^{2}}{2\cdot7\cdot(6+x)}=\frac{3x+38}{6+x}.
Из равенства
\frac{3x+38}{6+x}=\frac{29}{35}
находим, что x=\frac{8}{7}
.
Источник: Олимпиада «Росатом». — 2023-2024, октябрь 2023, отб. тур, 10 класс, комп. 1, задача 5, вариант 3