16898. Четырёхугольник ABCD
вписан в окружность и его диагонали пересекаются в точке P
. Точки K
, L
и M
— середины сторон AB
, BC
и CD
соответственно. Радиус окружности, описанной около треугольника KLP
, равен 1. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника LMP
.
Ответ. 1.
Решение. Треугольники ABP
и DCP
подобны по двум углам. Поскольку PK
и PM
— их соответственные медианы, то \angle APK=\angle DPM
(см. задачу 2602).
Поскольку KL
и LM
— средние линии треугольников ABC
и BCD
, то KL\parallel AC
и LM\parallel BD
. Тогда \angle LKP=\angle APK
и \angle LMP=\angle DPM
. Значит, \angle LKP=\angle LMP
.
Пусть R_{1}=1
и R_{2}
— радиусы описанных окружностей треугольников KLP
и LMP
соответственно. По теореме синусов
\sin\angle LKP=\frac{LP}{2R_{1}}=\frac{LP}{2},
Следовательно,
R_{2}=\frac{LP}{2\sin\angle LMP}=\frac{LP}{2\sin\angle LKP}=\frac{LP}{2\cdot\frac{LP}{2}}=1.
Источник: Олимпиада «Росатом». — 2022-2023, ноябрь 2023, закл. тур, 10 класс, задача 5, вариант 1