16909. На дуге AC
окружности описанной около равностороннего треугольника ABC
выбрана точка M
, для которой отрезки MA
и MC
равны 1 и 2. Прямая BM
пересекает сторону AC
в точке N
. Найдите MN
и сторону треугольника ABC
.
Ответ. \frac{2}{3}
, \sqrt{7}
.
Решение. Из вписанного четырёхугольника ABCM
получаем, что
\angle AMC=180^{\circ}-\angle ABC=180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}.
Следовательно, по теореме косинусов
BC=\sqrt{MA^{2}+MB^{2}-2MA\cdot MB\cos120^{\circ}}=\sqrt{1+4+2\cdot1\cdot2\cdot\frac{1}{2}}=\sqrt{7}.
Вписанные углы AMB
и CMB
равны, так как они опираются на равные хорды AB
и BC
. Значит, MB
— биссектриса угла AMC
, а MN
— биссектриса треугольника AMC
. Следовательно (см. задачу 4021)
MN=\frac{2MA\cdot MC\cos\frac{1}{2}\angle AMC}{MA+MB}=\frac{2\cdot1\cdot2\cdot\cos60^{\circ}}{1+2}=\frac{2\cdot1\cdot2\cdot\frac{1}{2}}{1+2}=\frac{2}{3}.
Источник: Олимпиада «Росатом». — 2022-2023, отборочный тур, 9 класс, задача 5, вариант 1