16915. На гипотенузе AC
прямоугольного треугольника ABC
расположен центр окружности, проходящей через вершину A
и касающейся катета BC
в точке D
. Найдите отношение CD:DB
, если угол при вершине C
треугольника равен 30^{\circ}
.
Ответ. 2:1
.
Решение. Пусть O
— центр окружности. Тогда OD\perp BC
, поэтому OD\parallel AB
. Значит,
\angle BAD=\angle ODA=\angle CAD,
так как треугольник AOD
равнобедренный. Тогда AD
— биссектриса треугольника. При этом AB=\frac{1}{2}AC
как катет, лежащий против угла 30^{\circ}
. Следовательно, по свойству биссектрисы треугольника (см. задачу 1509)
\frac{CD}{DB}=\frac{AC}{AB}=\frac{AC}{\frac{1}{2}AC}=2.
Источник: Олимпиада «Росатом». — 2021-2022, закл. тур, 8 класс, задача 5, вариант 1