16924. В выпуклом четырёхугольнике ABCD
с параллельными сторонами AD
и BC
проведена прямая l
параллельная AD
и пересекающая стороны AB
и CD
в точках M
и N
соответственно. Известно, что четырёхугольники AMND
и MBSN
подобны, а сумма длин сторон AD
и BC
не больше 4. Найдите наибольшую возможную при этих условиях длину отрезка MN
.
Ответ. 2.
Решение. Заметим, что четырёхугольник ABCD
— трапеция или параллелограмм.
Обозначим AD=a
, BC=b
и MN=x
. Из подобия получаем, что \frac{b}{x}=\frac{x}{a}
, откуда x=\sqrt{ab}
. По неравенству Коши (см. задачу 2299)
x=\sqrt{ab}\leqslant\frac{a+b}{2}\leqslant\frac{4}{2}=2,
причём равенство достигается тогда и только тогда, когда a=b
(т. е. когда ABCD
— параллелограмм). Следовательно, наибольшая возможная длина отрезка MN
равна 2.
Источник: Олимпиада «Росатом». — 2017-2018, заключительный тур, 9 класс, задача 5, вариант 1