16930. Диагонали трапеции взаимно перпендикулярны, одна из них равна 15, а высота трапеции 12. Найдите площадь трапеции.
Ответ. 150.
Решение. Пусть диагональ AC
трапеции ABCD
с основаниями AD
и BC
равна 15, а BH=12
— высота трапеции. Пусть прямая, проведённая через вершину B
параллельно AC
, пересекает продолжение основания AD
в точке M
. Тогда \angle DBM=90^{\circ}
, BM=AC=15
, AM=BC
, а BH
— высота прямоугольного треугольника DBM
, проведённая из вершины прямого угла.
По теореме Пифагора
MH=\sqrt{BM^{2}-BH^{2}}=\sqrt{15^{2}-12^{2}}=9.
Тогда (см. задачу 2728)
BM^{2}=MH\cdot MD~\Rightarrow~MD=\frac{BM^{2}}{MH}=\frac{15^{2}}{9}=25.
Следовательно,
S_{ABCD}=\frac{1}{2}(AD+BC)\cdot BH=\frac{1}{2}(AD+AM)\cdot BH=\frac{1}{2}MD\cdot BH=\frac{1}{2}\cdot25\cdot12=150.
Источник: Олимпиада «Курчатов». — 2012-2013, отборочный тур, 10-11 классы, задача 3