16941. В остроугольном треугольнике ABC
точка H
— основание высоты, проведённой из точки B
. Оказалось, что центр вписанной окружности треугольника BCH
совпадает с точкой пересечения медиан треугольника ABC
. Найдите AC^{2}
, если AB=6
.
Ответ. 90.
Решение. Пусть G
— точка пересечения медиан треугольника ABC
, совпадающая с точкой пересечения биссектрис (центром вписанной окружности) треугольника BCH
. В треугольнике ABC
эта точка лежит как на биссектрисе угла C
, так и на медиане, проведённой из вершины C
. Значит, треугольник ABC
равнобедренный, AC=BC
.
Пусть M
— середина стороны AC
. С одной стороны, BM
— медиана треугольника ABC
, поэтому BC=AC=2CM
, откуда \frac{BC}{CM}=2
. С другой стороны, это биссектриса треугольника BCH
, поэтому \frac{BH}{HM}=\frac{BC}{CM}=2
(см. задачу 1509), поэтому BH=2HM
. Значит,
BC+BH=2CM+2HM=2(CM+HM)=2CH.
По теореме Пифагора ;
CH^{2}=BC^{2}-BH^{2}=(BC+BH)(BC-BH)=2CH\cdot(BC-BH),
откуда
BC-BH=\frac{1}{2}CH.
Значит,
BC=\frac{(BC+BH)+(BC-BH)}{2}=\frac{2CH+\frac{1}{2}CH}{2}=\frac{5}{4}CH,
и
BH=\frac{(BC+BH)-(BC-BH)}{2}=\frac{2CH-\frac{1}{2}CH}{2}=\frac{3}{4}CH.
Таким образом, стороны прямоугольного треугольника BCH
относятся как 5:4:3
, а так как
AH=AC-CH=BC-\frac{4}{5}BC=\frac{1}{5}BC~\mbox{и}~BH=\frac{3}{5}BC,
то
AB=\sqrt{AH^{2}+BH^{2}}=\sqrt{(AC-CH)^{2}+BH^{2}}=\sqrt{(BC-CH)^{2}+BH^{2}}=
=\sqrt{\left(BC-\frac{4}{5}BC\right)^{2}+\left(\frac{3}{5}BC\right)^{2}}=\frac{\sqrt{10}}{5}BC=\frac{\sqrt{10}}{5}BC,
а так как по условию AB=6
, то
BC=\frac{5}{\sqrt{10}}AB=\frac{5}{\sqrt{10}}\cdot6=3\sqrt{10}.
Следовательно,
AC^{2}=BC^{2}=90.
Источник: Олимпиада «Курчатов». — 2021-2022, отборочный тур, 10-11 классы, задача 6.1