16946. Даны две непересекающиеся окружности радиуса R
. Прямая l_{1}
пересекает первую окружность в точках A
и B
, а вторую — в точках C
и D
. Прямая l_{2}
пересекает первую окружность в точках K
и L
, а вторую — в точках M
и N
. Известно, что AB=BC=CD=13
и KL=LM=MN=8
. Найдите R
.
Ответ. 11.
Решение. Пусть O_{1}
и O_{2}
— центры данных окружностей, а S
— середина отрезка между центрами. Рассмотрим одну из прямых l_{1}
или l_{2}
, обозначим её за l
. Пусть отрезки, которые на ней высекают точки пересечения с окружностями, равны 2a
. Поскольку окружности высекают на прямой равные хорды, расстояния от центров окружностей до l
тоже равны (см. задачу 1673), каждое из них равен \sqrt{R^{2}-a^{2}}
).
Пусть центры окружностей находятся одну сторону от прямой l
. Тогда O_{1}O_{2}\parallel l
и O_{1}O_{2}=4a
(рис. 1.). Если же центры находятся по разные стороны от прямой l
(рис. 2), то она проходит через середину S
отрезка O_{1}O_{2}
.
Обозначим проекцию точки O_{1}
на l
через H_{l}
, а одну из точек пересечения первой окружности с прямой l
через X_{l}
, получим
O_{1}O_{2}=2SO_{1}=2\sqrt{SH_{l}^{2}+O_{1}H_{l}^{2}}=2\sqrt{(2a)^{2}+(O_{1}X_{l}^{2}-a^{2})}=2\sqrt{2a^{2}+R^{2}}.\eqno(1)
Ясно, что каждая из прямых l_{1}
и l_{2}
либо параллельна отрезку O_{1}O_{2}
, либо проходит через его середину; но обе они быть параллельны не могут, так как тогда
O_{1}O_{2}=a+2a+a=4a=4\cdot6{,}5=4\cdot4;
обе проходить через середину они тоже не могут, так как в этом случае
O_{1}O_{2}=2\sqrt{3\cdot6{,}5^{2}+R^{2}}=2\sqrt{3\cdot4^{2}+R^{2}},
см. (1).
Значит, одна из них параллельна O_{1}O_{2}
, а другая проходит через точку S
. Меньшее a
соответствует второму случаю, так как
2\sqrt{3a^{2}+R^{2}}\gt4a~\Leftrightarrow~12a^{2}+4R^{2}\gt16R^{2}~\Leftrightarrow~a\lt R.
Значит, первая прямая параллельна O_{1}O_{2}
, а вторая проходит через S
.
Следовательно,
4\cdot6{,}5=O_{1}O_{2}=2\sqrt{3\cdot4^{2}+R^{2}},~\mbox{или}~16\cdot6{,}5^{2}=12\cdot4^{2}+4R^{2},
откуда R=11
.
Источник: Олимпиада «Курчатов». — 2020-2021, отборочный тур, 10-11 классы, задача 6.2