16952. Положительные числа a
, b
, c
, x
, y
и z
таковы, что
\syst{x^{2}+xy+y^{2}=a^{2}\\y^{2}+yz+z^{2}=b^{2}\\x^{2}+xz+z^{2}=c^{2}.\\}
Выразите величину P=xy+yz+xz
через a
, b
и c
.
Ответ. \sqrt{\frac{(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)}{3}}
.
Решение. Из произвольной точки T
плоскости проведём лучи таким образом, чтобы углы между соседними лучами были равна 120^{\circ}
. На этих лучах отложим отрезки TA=z
, TB=x
и TC=z
. Тогда равенства из данной системы — запись теоремы косинусов для треугольников BTC
, CTA
и ATB
соответственно. Сумма площадей этих треугольников равна площади треугольника ABC
, т. е.
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}xy\sin120^{\circ}+\frac{1}{2}yz\sin120^{\circ}+\frac{1}{2}xz\sin120^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{4}(xy+yz+xz).
Следовательно,
P=xy+yz+xz=\frac{4}{\sqrt{3}}S_{\triangle ABC}=\frac{4}{\sqrt{3}}\cdot\sqrt{\frac{(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)}{16}}=
=\sqrt{\frac{(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)}{3}}.
Примечание. Точка T
— точка Торричелли треугольника ABC
(см. задачу 6700).
Источник: Блинков А. Д. Геометрия в негеометрических задачах. — М.: МЦНМО, 2016. — (Школьные математические кружки; 15). — № 4.3, с. 40