16956. Найдите наибольшее значение выражения
x\sqrt{1-y^{2}}+y\sqrt{1-x^{2}}.
Ответ. 1.
Решение. Докажем, что наибольшее значение данного выражения равно 1.
Заметим, что при x=1
, y=0
данное значение равно 1, поэтому достаточно доказать неравенство
x\sqrt{1-y^{2}}+y\sqrt{1-x^{2}}\leqslant1.
Кроме того,
x\sqrt{1-y^{2}}+y\sqrt{1-x^{2}}\leqslant|x|\sqrt{1-|y|^{2}}+|y|\sqrt{1-|x|^{2}},
поэтому достаточно доказать, что неравенство выполняется для x\geqslant0
, y\geqslant0
.
Заметим, что при x=0
или y=0
неравенство верно. Аналогично, неравенство верно, если x=1
или y=1
. Таким образом, достаточно рассмотреть случай 0\lt x\lt1
и 0\lt y\lt1
.
Первый способ. Рассмотрим прямоугольные треугольники ABC
и ADC
с общей гипотенузой AC=1
и вершинами B
и D
, лежащими по разные стороны от прямой AC
. Четырёхугольник ABCD
вписан в окружность с диаметром AC=1
. Пусть AB=x
и AD=y
. Тогда
BC=\sqrt{AC^{2}-AB^{2}}=\sqrt{1-x^{2}},~CD=\sqrt{AC^{2}-AD^{2}}=\sqrt{1-y^{2}}.
По теореме Птолемея (см. задачу 130)
x\sqrt{1-y^{2}}+y\sqrt{1-x^{2}}=AB\cdot CD+BC\cdot AD=AC\cdot BD\leqslant1,
так как каждая диагональ вписанного четырёхугольника ABCD
не больше диаметра описанной окружности, равного 1. Что и требовалось доказать.
Второй способ. Рассмотрим два прямоугольных треугольника ABD
и ACD
с гипотенузами AB=x
и AC=y
, общим катетом AD=xy
и с вершинами B
и C
острых углов, лежащими по разные стороны от прямой AD
. Такие треугольники существуют, так как при 0\lt x\lt1
и 0\lt y\lt1
верны неравенства x\gt xy
и y\gt xy
. Тогда
BD=\sqrt{AB^{2}-AD^{2}}=\sqrt{x^{2}-x^{2}y^{2}}=x\sqrt{1-y^{2}},
CD=\sqrt{AC^{2}-AD^{2}}=\sqrt{y^{2}-x^{2}y^{2}}=y\sqrt{1-x^{2}}.
В то же время, если вычислить площадь треугольника ABC
двумя способами, получится
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}BC\cdot AD=\frac{1}{2}(BD+CD)AD=\frac{1}{2}(x\sqrt{1-y^{2}}+y\sqrt{1-x^{2}})xy
и
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot AC\sin\angle BAC=\frac{1}{2}xy\sin\angle BAC.
Следовательно,
x\sqrt{1-y^{2}}+y\sqrt{1-x^{2}}=\sin\angle BAC\leqslant1.
Что и требовалось доказать.
Источник: Блинков А. Д. Геометрия в негеометрических задачах. — М.: МЦНМО, 2016. — (Школьные математические кружки; 15). — № 4.8, с. 40