16961. Докажите, что для любых положительных чисел a
, b
и c
верно неравенство:
а) \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geqslant\frac{1}{\sqrt{ab}}+\frac{1}{\sqrt{bc}}+\frac{1}{\sqrt{ac}}
;
б) (a^{3}+b^{3}+b^{3})\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\geqslant(a+b+c)^{2}
.
Решение. Рассмотрим прямоугольную систему координат Oxyz
в пространстве.
а) Обозначим \overrightarrow{x}=\left(\frac{1}{\sqrt{a}};\frac{1}{\sqrt{b}};\frac{1}{\sqrt{c}}\right)
и \overrightarrow{y}=\left(\frac{1}{\sqrt{b}};\frac{1}{\sqrt{c}};\frac{1}{\sqrt{a}}\right)
. Тогда
\overrightarrow{x}\cdot\overrightarrow{y}=\frac{1}{\sqrt{ab}}+\frac{1}{\sqrt{bc}}+\frac{1}{\sqrt{ac}},~|\overrightarrow{x}|=|\overrightarrow{y}|=\sqrt{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}.
Из неравенства \overrightarrow{x}\cdot\overrightarrow{y}\leqslant|\overrightarrow{x}|\cdot|\overrightarrow{y}|
(см. примечание у задаче 4900) следует доказываемое неравенство.
б) Обозначим \overrightarrow{m}=(a\sqrt{a};b\sqrt{b};c\sqrt{c})
и \overrightarrow{n}=\left(\frac{1}{\sqrt{a}};\frac{1}{\sqrt{b}};\frac{1}{\sqrt{c}}\right)
. Тогда
\overrightarrow{m}\cdot\overrightarrow{n}=a+b+c,~|\overrightarrow{m}|=\sqrt{a^{3}+b^{3}+c^{3}},~|\overrightarrow{n}|=\sqrt{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}.
Из неравенства (\overrightarrow{m}\cdot\overrightarrow{n})^{2}\leqslant|\overrightarrow{m}|^{2}\cdot|\overrightarrow{n}|^{2}
следует доказываемое неравенство.
Источник: Блинков А. Д. Геометрия в негеометрических задачах. — М.: МЦНМО, 2016. — (Школьные математические кружки; 15). — N Д47, с. 94