16963. Решите уравнение
\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}=x^{2}-6x+11.
Ответ. x=3
.
Решение. Рассмотрим прямоугольную систему координат и векторы \overrightarrow{m}=(1;1)
и \overrightarrow{n}=(\sqrt{x-2};\sqrt{4-x})
. Тогда (см. примечание 2 к задаче 4900) \overrightarrow{m}\cdot\overrightarrow{n}\leqslant|\overrightarrow{m}|\cdot|\overrightarrow{n}|
, поэтому
\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}=1\cdot\sqrt{x-2}+1\cdot\sqrt{4-x}=\overrightarrow{m}\cdot\overrightarrow{n}\leqslant|\overrightarrow{m}|\cdot|\overrightarrow{n}|=
=\sqrt{1^{2}+1^{2}}\cdot\sqrt{(\sqrt{x-2})^{2}+(\sqrt{4-x})^{2}}=\sqrt{2}\cdot\sqrt{(x-2)+(4-x)}=2.
С другой стороны,
x^{2}-6x+11=(x-3)^{2}+2\geqslant2.
Значит, обе части уравнения равны 2. Правая часть равна 2, только если x=2
, но в этом случае левая часть тоже равна 2. Следовательно, x=2
— единственный корень этого уравнения.
Источник: Блинков А. Д. Геометрия в негеометрических задачах. — М.: МЦНМО, 2016. — (Школьные математические кружки; 15). — N Д41, с. 93