16966. Решите уравнение
\sqrt{(x+1)^{2}+y^{2}}+\sqrt{(x+5)^{2}+(y-3)^{2}}+\sqrt{(x-2)^{2}+y^{2}}=8.
Ответ. x=-1
, y=0
.
Решение. Рассмотрим на координатной плоскости xOy
точки A(-1;0)
, B(-5;3)
, C(2;0)
и произвольную точку M(x;y)
. Тогда
AB^{2}=(-5+1)^{2}+(3-0)^{2}=25,~AC^{2}=(2+1)^{2}+0^{2}=9,~BC^{2}=(2+5)^{2}+(-3)^{2}=58,
\sqrt{(x+1)^{2}+y^{2}}=MA,~\sqrt{(x+5)^{2}+(y-3)^{2}}=MB,~\sqrt{(x-2)^{2}+y^{2}}=MC.
Таким образом нужно найти все точки M
, для которых
MA+MB+MC=8.\eqno(1)
Заметим, что равенство (1) выполняется, если точка M
совпадает с A
(0+5+3=8). Докажем, что других таких точек нет.
Действительно, по теореме косинусов
\angle BAC=\frac{AB^{2}+AC^{2}-BC^{2}}{2AB\cdot AC}=\frac{25+9-58}{2\cdot5\cdot3}=-\frac{4}{5}\lt-\frac{1}{2},
значит, \angle BAC\gt120^{\circ}
. Треугольник ABC
тупоугольный, поэтому точка, сумма расстояний от которой до вершин минимальна, — вершина тупого угла (см. примечание к задаче 6700). Следовательно, для остальных точек плоскости
MA+MB+MC\gt8.
Отсюда вытекает единственность решения x=-1
, y=0
.
Источник: Блинков А. Д. Геометрия в негеометрических задачах. — М.: МЦНМО, 2016. — (Школьные математические кружки; 15). — № 2.8, с. 18