16969. Пусть
a^{2}+b^{2}=1
и
c^{2}+d^{2}=1
. Докажите, что
ac+bd\leqslant1
.
Решение. Рассмотрим прямоугольную систему координат
xOy
и окружность
x^{2}+y^{2}=1
. Поскольку
a^{2}+b^{2}=1
и
c^{2}+d^{2}=1
, точки
M(a;b)
и
K(c;d)
лежат на этой окружности. Тогда
\overrightarrow{OM}=(a;b)
и
\overrightarrow{OK}=(c;d)
— единичные векторы. Значит (см. примечание к задаче 4900),
\overrightarrow{OM}\cdot\overrightarrow{OK}\leqslant|\overrightarrow{OM}|\cdot|\overrightarrow{OM}|=1.

Следовательно,
ac+bd=\overrightarrow{OM}\cdot\overrightarrow{OK}\leqslant1.

Источник: Блинков А. Д. Геометрия в негеометрических задачах. — М.: МЦНМО, 2016. — (Школьные математические кружки; 15). — № 6.1, с. 55