16970. Решите уравнение
2\sqrt{x-1}+5x=\sqrt{(x^{2}+4)(x+24)}.
Решение. Рассмотрим прямоугольную систему координат xOy
и векторы \overrightarrow{m}=(2;x)
и \overrightarrow{n}=(\sqrt{x-1};5)
. Тогда
|\overrightarrow{m}|=\sqrt{x^{2}+4},~|\overrightarrow{n}|=\sqrt{(\sqrt{x-1})^{2}+25}=\sqrt{x+24}.
Значит (см. примечание 2 к задаче 4900),
2\sqrt{x-1}+5x=\overrightarrow{m}\cdot\overrightarrow{n}\leqslant|\overrightarrow{m}|\cdot|\overrightarrow{n}|=\sqrt{x^{2}+4}\cdot\sqrt{x+24}=\sqrt{(x^{2}+4)(x+24)},
причём равенство возможно тогда и только тогда, когда векторы \overrightarrow{m}
и \overrightarrow{n}
сонаправлены, т. е. тогда и только тогда, когда
\frac{\sqrt{x-1}}{2}=\frac{5}{x}~\Leftrightarrow~\syst{x\geqslant1\\\frac{x-1}{4}=\frac{25}{x^{2}}.\\}
Полученное уравнение приводится к виду
x^{3}-x^{2}-100=0~\Leftrightarrow~(x^{3}-125)-(x^{2}-25)=0~\Leftrightarrow~(x-5)(x^{2}+5x+25)=0~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~(x-5)(x^{2}+4x+20)=0~\Leftrightarrow~x=5.
Можно по-другому: заметим, что x=5
— решение; других решений нет, так как на промежутке [1;+\infty)
левая часть уравнения возрастает, а правая убывает.
Источник: Блинков А. Д. Геометрия в негеометрических задачах. — М.: МЦНМО, 2016. — (Школьные математические кружки; 15). — № 6.5, с. 57