16975. Найдите наименьшее значение выражения
\sqrt{x^{2}+(y-1)^{2}}+\sqrt{(x-1)^{2}+y^{2}}.
Ответ. \sqrt{2}
.
Решение. Рассмотрим прямоугольную систему координат xOy
и точки A(0;1)
, B(1;0)
и M(x;y)
. Тогда (см. задачу 4201)
MA=\sqrt{(x-0)^{2}+(y-1)^{2}}=\sqrt{x^{2}+(y-1)^{2}},
MB=\sqrt{(x-1)^{2}+y-0)^{2}}=\sqrt{(x-1)^{2}+y^{2}}.
В силу неравенства треугольника MA+MB\geqslant AB
, поэтому данное выражение принимает наименьшее значение в том случае, когда достигается равенство, т. е. когда точка M
лежит на отрезке AB
.
В этом случае
MA+MB=AB=\sqrt{(1-0)^{2}+(0-1)^{2}}=\sqrt{2}.
Источник: Блинков А. Д. Геометрия в негеометрических задачах. — М.: МЦНМО, 2016. — (Школьные математические кружки; 15). — № 2.1, с. 15