16976. Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения (a-c)^{2}+(b-d)^{2}
, если a^{2}+b^{2}=1
и c^{2}+d^{2}=4
.
Ответ. 9 и 1.
Решение. Рассмотрим прямоугольную систему координат xOy
и окружности x{2}+y^{2}=1
и x^{2}+y^{2}=4
. Они имеют общий центр O(0;0)
и радиусы 1 и 2 соответственно. Из условия следует, что точка M(a;b)
лежит на первой окружности, а точка N(;d;)
— на второй. Поскольку
(a-c)^{2}+(b-d)^{2}=MN^{2},
задача сводится к тому, чтобы найти наибольшее и наименьшее расстояния между точками этих окружностей. Следовательно (см. задачу 464), наибольшее значение данного выражения равно сумме радиусов окружностей, т. е.
MN=1+2=3~\Rightarrow~MN^{2}=9,
а наименьшее — разности радиусов, т. е.
MN=2-1=1\Rightarrow~MN^{2}=1.
Источник: Блинков А. Д. Геометрия в негеометрических задачах. — М.: МЦНМО, 2016. — (Школьные математические кружки; 15). — № 2.2, с. 15