16977. Решите систему уравнений
\syst{x+\sqrt{1-y^{2}}=1\\y+\sqrt{1-x^{2}}=\sqrt{3}.\\}
Ответ. x=\frac{1}{2}
, y=\frac{\sqrt{3}}{2}
.
Решение. Рассмотрим прямоугольную систему координат xOy
и построим в ней графики уравнений системы. Поскольку
x+\sqrt{1-y^{2}}=1~\Leftrightarrow~\syst{1-y^{2}=(1-x)^{2}\\x\leqslant1\\}~\Leftrightarrow~\syst{(x-1)^{2}+y^{2}=1\\x\leqslant1,\\}
график первого уравнения — полуокружность радиуса 1 с центром A(1;0)
(см. рис.). Аналогично, график второго уравнения — полуокружность радиуса 1 с центром B(0;\sqrt{3})
Поскольку
AB=\sqrt{(1-0)^{2}+(0-\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{1+3}=2,
сумма радиусов полуокружностей равна расстоянию между их центрами. Значит, графики имеют ровно одну общую точку. Эта точка — середина отрезка AB
, поэтому её координаты (см. задачу 4200)—
x=\frac{1+0}{2}=\frac{1}{2}~\mbox{и}~y=\frac{0+\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}.
Следовательно, решение системы — пара \left(\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2}\right)
.
Источник: Блинков А. Д. Геометрия в негеометрических задачах. — М.: МЦНМО, 2016. — (Школьные математические кружки; 15). — № 2.5, с. 17