4200. Пусть M(x_{0};y_{0})
— середина отрезка с концами в точках A(x_{1};y_{1})
и B(x_{2};y_{2})
. Докажите, что
x_{0}=\frac{x_{1}+x_{2}}{2},~y_{0}=\frac{y_{1}+y_{2}}{2}.
Указание. Примените теорему Фалеса или векторное равенство \overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})
(см. задачу 4500).
Решение. Первый способ. Пусть различные точки A_{x}(x_{1};0)
и B_{x}(x_{2};0)
расположены на оси OX
, а M_{x}(x_{0};0)
— середина отрезка A_{x}B_{x}
. Поскольку A_{x}M_{x}=B_{x}M_{x}
, то |x_{0}-x_{1}|=|x_{0}-x_{2}|
. Значит, либо x_{0}-x_{1}=x_{0}-x_{2}
(что невозможно, так как x_{1}\ne x_{2}
), либо x_{1}-x_{0}=x_{0}-x_{2}
, откуда находим, что x_{0}=\frac{x_{1}+x_{2}}{2}
. Аналогично для точек, расположенных на оси OY
.
Если M(x_{0};y_{0})
— середина отрезка с концами в точках A(x_{1};y_{1})
и B(x_{2};y_{2})
и при этом x_{1}\ne x_{2}
и y_{1}\ne y_{2}
, то по теореме Фалеса проекции M_{x}
и M_{y}
точки M
на оси OX
и OY
— середины отрезков A_{x}B_{x}
и A_{y}B_{y}
, Поэтому
x_{0}=\frac{x_{1}+x_{2}}{2},~y_{0}=\frac{y_{1}+y_{2}}{2}.
Если x_{1}=x_{2}
, то точки A_{x}
и B_{x}
совпадают, поэтому x_{0}=x_{1}=x_{2}
. Значит, формула верна и в этом случае. Аналогично для y_{1}=y_{2}
.
Второй способ. Пусть O(0;0)
— начало координат. Координаты векторов \overrightarrow{OA}
, \overrightarrow{OB}
и \overrightarrow{OM}
равны координатам точек A
, B
и M
, а так как \overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})
(см. задачу 4500), то
x_{0}=\frac{x_{1}+x_{2}}{2},~y_{0}=\frac{y_{1}+y_{2}}{2}.
Примечание. Аналогично можно доказать, что координаты точки пересечения медиан треугольника ABC
равны средним арифметическим координат вершин треугольника.
Действительно, пусть G(x_{0};y_{0};z_{0})
— точка пересечения медиан треугольника с вершинами в точках A(x_{1};y_{1};z_{1})
, B(x_{2};y_{2};z_{2})
и C(x_{3};y_{3};z_{3})
, O(0;0;0)
— начало координат. Координаты векторов \overrightarrow{OA}
, \overrightarrow{OB}
, \overrightarrow{OC}
и \overrightarrow{OG}
равны координатам точек A
, B
, C
и G
, а так как \overrightarrow{OG}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})
(см. задачу 4505), то
x_{0}=\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3},~y_{0}=\frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3},~z_{0}=\frac{z_{1}+z_{2}+z_{3}}{3}.
Источник: Погорелов А. В. Геометрия: Учебное пособие для 7—11 кл. средней школы. — 8-е изд. — М.: Просвещение, 1989. — п.72