4200. Пусть
M(x_{0};y_{0})
— середина отрезка с концами в точках
A(x_{1};y_{1})
и
B(x_{2};y_{2})
. Докажите, что
x_{0}=\frac{x_{1}+x_{2}}{2},~y_{0}=\frac{y_{1}+y_{2}}{2}.

Указание. Примените теорему Фалеса или векторное равенство
\overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})
(см. задачу 4500).
Решение. Первый способ. Пусть различные точки
A_{x}(x_{1};0)
и
B_{x}(x_{2};0)
расположены на оси
OX
, а
M_{x}(x_{0};0)
— середина отрезка
A_{x}B_{x}
. Поскольку
A_{x}M_{x}=B_{x}M_{x}
, то
|x_{0}-x_{1}|=|x_{0}-x_{2}|
. Значит, либо
x_{0}-x_{1}=x_{0}-x_{2}
(что невозможно, так как
x_{1}\ne x_{2}
), либо
x_{1}-x_{0}=x_{0}-x_{2}
, откуда находим, что
x_{0}=\frac{x_{1}+x_{2}}{2}
. Аналогично для точек, расположенных на оси
OY
.
Если
M(x_{0};y_{0}
) — середина отрезка с концами в точках
A(x_{1};y_{1})
и
B(x_{2};y_{2})
и при этом
x_{1}\ne x_{2}
и
y_{1}\ne y_{2}
, то по теореме Фалеса проекции
M_{x}
и
M_{y}
точки
M
на оси
OX
и
OY
— середины отрезков
A_{x}B_{x}
и
A_{y}B_{y}
, Поэтому
x_{0}=\frac{x_{1}+x_{2}}{2},~y_{0}=\frac{y_{1}+y_{2}}{2}.

Если
x_{1}=x_{2}
, то точки
A_{x}
и
B_{x}
совпадают, поэтому
x_{0}=x_{1}=x_{2}
. Значит, формула верна и в этом случае. Аналогично для
y_{1}=y_{2}
,
Второй способ. Пусть
O(0;0)
— начало координат. Координаты векторов
\overrightarrow{OA}
,
\overrightarrow{OB}
и
\overrightarrow{OM}
равны координатам точек
A
,
B
и
M
, а так как
\overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})
(см. задачу 4500), то
x_{0}=\frac{x_{1}+x_{2}}{2},~y_{0}=\frac{y_{1}+y_{2}}{2}.

Примечание. Аналогично можно доказать, что координаты точки пересечения медиан треугольника
ABC
равны средним арифметическим координат вершин треугольника.
Действительно, пусть
G(x_{0};y_{0};z_{0})
— точка пересечения медиан треугольника с вершинами в точках
A(x_{1};y_{1};z_{1})
,
B(x_{2};y_{2};z_{2})
и
C(x_{3};y_{3};z_{3})
,
O(0;0;0)
— начало координат. Координаты векторов
\overrightarrow{OA}
,
\overrightarrow{OB}
,
\overrightarrow{OC}
и
\overrightarrow{OG}
равны координатам точек
A
,
B
,
C
и
G
, а так как
\overrightarrow{OG}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})
(см. задачу 4505), то
x_{0}=\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3},~y_{0}=\frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3},~z_{0}=\frac{z_{1}+z_{2}+z_{3}}{3}.