16982. Найдите наименьшее значение выражения x^{2}+y^{2}
, если x^{2}-y^{2}+6x+4y+5=0
.
Ответ. \frac{1}{\sqrt{2}}
.
Решение. Заметим, что
x^{2}-y^{2}+6x+4y+5=0~\Leftrightarrow~(x^{2}+6x+9)-(y^{2}-4y+4)~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~(x+3)^{2}-(y-4)^{2}=0~\Leftrightarrow(x+y+1)(x-y+5)=0.
График полученного уравнения — объединение прямых
y=-x-1~\mbox{и}~y=x+5
(см. рис.).
Выражение x^{2}+y^{2}
— это квадрат расстояния от точки M(x;y)
до начала координат. Значит, его значение будет наименьшим, если M
— основание перпендикуляра, опущенного из точки O(0;0)
на ближайшую к этой точке прямую. Угловые коэффициенты этих прямых равны -1 и 1 соответственно, поэтому прямые отсекают от осей координат равнобедренные прямоугольные треугольники. Их катеты равны 1 и 5 соответственно, причём ближе к началу координат находится прямая y=-x-1
. Следовательно (см. задачу 4249),
OM=\frac{|1\cdot0+1\cdot0+1|}{\sqrt{1^{2}+1^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{2}}.
Источник: Блинков А. Д. Геометрия в негеометрических задачах. — М.: МЦНМО, 2016. — (Школьные математические кружки; 15). — N Д7, с. 90