16983. Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения
\sqrt{x^{2}+y^{2}}+\sqrt{x^{2}+(y+3){2}},
если 2|x|+|y|=2
.
Ответ. 7 и 3.
Решение. График уравнения 2|x|+|y|=2
в прямоугольной системе координат xOy
— ромб ABCD
с вершинами A(0;2)
, B(-1;0)
, C(0;-2)
, D(1;O)
и центром O(0;0)
. Пусть точка M(x;y)
лежит на границе ромба.
\sqrt{x^{2}+y^{2}}=OM,~\sqrt{x^{2}+(y+3){2}}=KM,
где K
— точка с координатами (0;-3)
.
Поскольку OM+KM\geqslant OK
, то сумма OM+KM
принимает наименьшее значение в случае равенства, т. е. если точка M
лежит на отрезке OK
. В этом случае точка M
совпадает с вершиной C
. Следовательно, наименьшее значения суммы, о которой говорится в условии, равно
OC+CK=OK=3.
Заметим, что KA
— наибольшая сторона треугольника ADK
, поэтому KM\leqslant KA
(см. задачу 3501), а так как OM\leqslant OA
, то сумма OM+KM
принимает наибольшее значение, если точка M
совпадает с A
. В этом случае
OM+KM\leqslant OA+KA=2+(4+1)=7.
Следовательно, наибольшее значение рассматриваемой суммы равно 7.
Источник: Блинков А. Д. Геометрия в негеометрических задачах. — М.: МЦНМО, 2016. — (Школьные математические кружки; 15). — N Д8, с. 90