16986. Докажите, что для любого острого угла верно равенство
\sin\alpha+\sin(60^{\circ}-\alpha)=\sin(60^{\circ}+\alpha).
Решение. Рассмотрим равносторонний треугольник ABC
, вписанный в окружность радиуса R
. Пусть точка D
лежит на дуге BC
, не содержащей точки A
, \angle DAC=\angle DBC=\alpha
. Тогда
\angle DAB=\angle CAB-\angle DAC=60^{\circ}-\alpha,~\angle ABD=\angle DAC+\angle CBD=60^{\circ}+\alpha.
По теореме синусов
BD=2R\sin\angle DAB=2R\sin(60^{\circ}-\alpha),~CD=2R\sin DAC=2R\sin\alpha,
AD=2R\sin ABD=2R\sin(60^{\circ}+\alpha).
По теореме Помпею (см. задачу 17)
BD+CD=AD,~\mbox{или}~2R\sin(60^{\circ}-\alpha)+2R\sin\alpha=2R\sin(60^{\circ}+\alpha).
Разделив обе части последнего равенства на R
, получим
\sin\alpha+\sin(60^{\circ}-\alpha)=\sin(60^{\circ}+\alpha).
Источник: Блинков А. Д. Геометрия в негеометрических задачах. — М.: МЦНМО, 2016. — (Школьные математические кружки; 15). — N Д34, с. 93