16988. Положительные числа x
, y
и z
удовлетворяют системе
\syst{x^{2}+y^{2}=16\\y^{2}+z^{2}=48\\y^{2}=xz.\\}
Найдите S=xy+yz
.
Ответ. 16\sqrt{3}
.
Решение. Рассмотрим отрезок AB
, который точкой D
делится на отрезки AD=x
и BD=z
. На отрезке AB
как на диаметре построим полуокружность, а из точки D
восставим перпендикуляр AB
, который пересечёт полуокружность в точке C
.
Тогда CD
— высота прямоугольного треугольника ABC
, проведённая из вершины прямого угла. Учитывая третье уравнение системы, получим (см. задачу 2728)
CD=\sqrt{AD\cdot BD}=\sqrt{xz}=|y|=y
(так как y\gt0
).
Из первого и третьего уравнений следует, что
AC=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=4,~BC=\sqrt{y^{2}+z^{2}}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}.
Таким образом,
S=xy+yz=2S_{\triangle ACD}+2S_{\triangle BCD}=2S_{\triangle ACB}=AC\cdot BC=4\cdot4\sqrt{3}=16\sqrt{3}.
Источник: Блинков А. Д. Геометрия в негеометрических задачах. — М.: МЦНМО, 2016. — (Школьные математические кружки; 15). — N Д29, с. 92