16989. Пусть a
, b
и c
— неотрицательные числа. Докажите, что
abc\geqslant(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a).
Решение. Без ограничения общности можно считать, что a\geqslant b\geqslant c\geqslant0
. Тогда первые два сомножителя в правой части доказываемого неравенства неотрицательны.
Если b+c\leqslant a
, то правая часть принимает неположительные значения. В этом случае неравенство верно.
Если b+c\gt a
, то существует треугольник со сторонами a
, b
и c
. Пусть p
— его полупериметр, S
— площадь, R
и r
радиусы описанной и вписанной окружностей соответственно. Тогда (см. задачу 4259)
abc=4RS,~a+b-c=2(p-c),~a+c-b=2(p-b),~b+c-a=2(p-a).
Применив формулу Герона и формулу S=pr
, доказываемое неравенство можно переписать в виде
4RS\geqslant8(p-a)(p-b)(p-c)~\Leftrightarrow~RSp\geqslant2p(p-a)(p-b)(p-c)~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~RSp\geqslant2S^{2}~\Leftrightarrow~Rp\geqslant2S~\Leftrightarrow~Rp\geqslant2pr~\Leftrightarrow~R\geqslant2r.
Последнее неравенство верно (см. задачу 3587). Отсюда следует утверждение задачи.
Источник: Блинков А. Д. Геометрия в негеометрических задачах. — М.: МЦНМО, 2016. — (Школьные математические кружки; 15). — N Д30, с. 92