16999. Решите систему уравнений
\syst{\sqrt{x^{2}+y^{2}-16x-12y+100}+\sqrt{x^{2}+y^{2}+4x-20y+104}=2\sqrt{29}\\(x-7)^{2}+(y-5)^{2}=16.\\}
Ответ. x=\frac{217-5\sqrt{415}}{29}
, y=\frac{180+2\sqrt{415}}{29}
.
Решение. Поскольку
\sqrt{x^{2}+y^{2}-16x-12y+100}+\sqrt{x^{2}+y^{2}+4x-20y+104}=2\sqrt{29}~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~\sqrt{(x-8)^{2}+(y-6)^{2}}+\sqrt{(x+2)^{2}+(y-10)^{2}},
исходная система равносильна системе
\syst{\sqrt{(x-8)^{2}+(y-6)^{2}}+\sqrt{(x+2)^{2}+(y-10)^{2}}\\(x-7)^{2}+(y-5)^{2}=16.\\}
Рассмотрим прямоугольную систему координат xOy
и точки M(x;y)
, A(8;6)
и B(-2;10)
. Тогда левая часть первого уравнения — сумма расстояний от точки M
до точек A
и B
, а второе уравнение задаёт окружность с центром (7;5)
и радиусом 4
Геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до двух данных точек есть расстояние между этими точками, — это отрезок, с концами в этих точках. Поэтому первое уравнение системы задаёт прямую AB
.
Уравнение прямой AB
имеет вид (см. задачу 4206)
\frac{y-10}{6-10}=\frac{x+2}{8+2}~\Leftrightarrow~x=23-\frac{5}{2}y.
Найдём точки пересечения этой прямой с окружностью \sqrt{(x-7)^{2}+(y-5)^{2}}=16
, решив систему
\syst{x=23-\frac{5}{2}\\(x-7)^{2}+(y-5)^{2}=16\\6\leqslant y\leqslant10\\}~\Leftrightarrow~\syst{x=23-\frac{5}{2}\\\left(16-\frac{5}{2}y\right)^{2}+(y-5)^{2}=16\\6\leqslant y\leqslant10\\}~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~\syst{x=23-\frac{5}{2}\\\frac{29}{4}y^{2}-90y+265=0\\6\leqslant y\leqslant10\\}~\Leftrightarrow~\syst{y=\frac{180+2\sqrt{415}}{29}\\x=\frac{217-5\sqrt{415}}{29}.\\}
Примечание. См. также статью В.Мирошина «Формулы геометрии помогают алгебре», Квант, 2007, N3, с.46-50.
Источник: Вступительный экзамен на факультет вычислительной математики и кибернетики (ВМК) МГУ. — 1996, задача 5, вариант 1
Источник: Журнал «Квант». — 2007, № 3, с. 48, задача 7