17003. Найдите наименьшее значение выражения
f(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}+\sqrt{(x-3)^{2}+y^{2}}+\sqrt{(x+5)^{2}+(y-3)^{2}}.
Ответ. \sqrt{34}+3
.
Решение. Рассмотрим прямоугольную систему координат xOy
и точки A(0;0)
, B(-5;3)
и C(3;0)
. В этой задаче нужно найти минимум суммы расстояний от точки (x;y)
до вершин треугольника ABC
. Мы имеем дело с частным случаем одной из наиболее известных геометрических задач на нахождение наибольших и наименьших значений — задачей Ферма.
Дан треугольник ABC
. Найти в его плоскости точку T
, сумма расстояний от которой до вершин треугольника минимальна.
Такая точка называется точкой Торричелли.
Известно (см. задачу 6700), для треугольника, наибольший угол которого меньше 120^{\circ}
, — это точка, из которой каждая сторона треугольника видна под углом 120^{\circ}
, а для треугольника, наибольший угол которого не меньше 120^{\circ}
, — вершина наибольшего угла.
В нашей задаче
BC=\sqrt{(3-(-5))^{2}+(0-3)^{2}}=\sqrt{73},~AC=\sqrt{(3-0)^{2}+(0-0)^{2}}=3,
AB=\sqrt{(-5-0)^{2}+(3-0)}=\sqrt{34}.
По теореме косинусов
\cos\angle A=\frac{AB^{2}+AC^{2}-BC^{2}}{2AB\cdot AC}=\frac{34+9-73}{2\cdot\sqrt{34}\cdot3}=-\frac{5}{\sqrt{34}}\lt-\frac{1}{2},
поэтому \angle A\gt120^{\circ}
. Значит, искомая точка T
совпадает с точкой A
Следовательно, искомое наименьшее расстояние равно
AB+AC=\sqrt{34}+3.
Примечание. См. также статью В.Мирошина «Формулы геометрии помогают алгебре», Квант, 2007, N3, с.46-50.
Источник: Журнал «Квант». — 2007, № 3, с. 49, задача 10