17013. Докажите, что среди углов вписанного выпуклого шестиугольника найдётся не более двух прямых и острых.
Решение. Пусть A_{1}A_{2}A_{3}A_{4}A_{5}A_{6}
— вписанный шестиугольник. Допустим, что найдутся три таких угла. Тогда одна из сумм углов шестиугольника, взятых через один (например, \angle A_{1}+\angle A_{3}+\angle A_{5}
), содержит два слагаемых, сумма которых не превышает 180^{\circ}
, а так как третье слагаемое менее 180^{\circ}
, то вся сумма не может равняться 360^{\circ}
. Противоречие (см. задачу 17002).
(Если прямых и острых углов в шестиугольнике не более двух, то в каждой из рассматриваемых сумм таких углов не более одного.)
Примечание. См. также: Л.М.Лоповок «Вписанный шестиугольник», Квант, 1973, N1, с.18-22.
Источник: Журнал «Квант». — 1973, № 1, с. 19