17022. Даны два числа p
и q
, большие 1. На сторонах AB
и DC
прямоугольника ABCD
берутся точки P
и Q
, для которых BC=pBP
и DC=qDQ
. При каком отношении сторон AB
и AD
угол PAQ
будет наибольшим? Каков этот угол в частном случае p=2
, q=\frac{3}{2}
?
Ответ. \arctg\frac{pq-1}{2\sqrt{pq}}
; \arctg\frac{1}{\sqrt{3}}=30^{\circ}
.
Решение. Обозначим CD=AB=a
, AD=BC=b
, \angle PAQ=\varphi
, \angle APB=\alpha
, \angle QAD=\beta
. Тогда
\tg\alpha=\frac{AB}{BP}=\frac{AB}{\frac{BC}{p}}=\frac{a}{\frac{b}{p}}=\frac{ap}{b},~\tg\beta=\frac{DQ}{AD}=\frac{\frac{DC}{q}}{AD}=\frac{\frac{a}{q}}{b}=\frac{a}{qb}.
Значит,
\tg\varphi=\tg\angle PAQ=\tg(\angle PAD-\angle QAD)=\tg(\angle APB-\angle QAD)=
=\tg(\alpha-\beta)=\frac{\tg\alpha-\tg\beta}{1+\tg\alpha\tg\beta}=\frac{\frac{ap}{b}-\frac{a}{qb}}{1+\frac{ap}{b}\cdot\frac{a}{qb}}=\frac{ab(pq-1)}{a^{2}p+b^{2}q}.
По неравенству Коши (см. задачу 3399)
a^{2}p+b^{2}q\geqslant2\sqrt{a^{2}pb^{2}q}=2ab\sqrt{pq},
причём равенство достигается при a^{2}p=b^{2}q
, т. е. когда \frac{a}{b}=\sqrt{\frac{q}{p}}
. Значит,
\tg\angle PAQ=\tg\varphi=\frac{ab(pq-1)}{a^{2}p+b^{2}q}\leqslant\frac{pq-1}{2\sqrt{pq}},
причём максимум угла PAQ
равен \arctg\frac{pq-1}{2\sqrt{pq}}
и достигается, когда
\frac{a}{b}=\frac{AB}{AD}=\sqrt{\frac{q}{p}}
(\angle PAQ\lt90^{\circ}
, а тангенс в первой четверти — возрастающая функция).
В частности, если p=2
, q=\frac{3}{2}
, то наибольший угол равен \arctg\frac{1}{\sqrt{3}}=30^{\circ}
.
Автор: Готман Э. Г.
Источник: Журнал «Квант». — 1994, № 5, с. 48, M263; 1995, № 1, с. 45, M263
Источник: Задачник «Кванта». — 1994, M263