17026. В трапеции ABCD
боковая сторона CD
перпендикулярна основанию AD
, BC=a
, AD=b
, a\lt b
. На основании AD
существует точка D
, для которой MB
перпендикулярно AC
, а MC
перпендикулярно BD
. Найдите высоту трапеции.
Ответ. a\sqrt{\frac{b}{a+b}}
.
Решение. Пусть высота трапеции ABCD
равна h
, т. е. CD=h
, а DM=x
. Поскольку
\angle DCM=\angle BDM=\angle CBM,
прямоугольные треугольники DCM
и CBD
подобны, поэтому
\frac{DM}{CD}=\frac{CD}{BC}~\Rightarrow~x=DM=\frac{CD^{2}}{BC}=\frac{h^{2}}{a}.
Из прямоугольного треугольника ADC
находим, что
AC=\sqrt{CD^{2}+AD^{2}}=\sqrt{h^{2}+b^{2}}.
Через вершину C
параллельно BM
проведём прямую до пересечения с прямой AD
в точке L
. Тогда
LM=BC=a,~BM=CL=\sqrt{CD^{2}+DL^{2}}=\sqrt{h^{2}+(a-x)^{2}}.
Пусть площадь трапеции (или ромба, если AM=a
) равна S
. Тогда
S=\frac{AM+BC}{2}\cdot CD=\frac{b-x+a}{2}\cdot h=\frac{b+(a-x)}{2}\cdot h.
С другой стороны (см. задачу 3018),
S=\frac{1}{2}AC\cdot BM=\frac{1}{2}\sqrt{h^{2}+b^{2}}\cdot\sqrt{h^{2}+(a-x)^{2}}.
Значит,
\frac{1}{2}\sqrt{h^{2}+b^{2}}\cdot\sqrt{h^{2}+(a-x)^{2}}=\frac{1}{2}\frac{b+(a-x)}{2}\cdot h~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~\sqrt{h^{2}+b^{2}}\cdot\sqrt{h^{2}+(a-x)^{2}}=(b+(a-x))h~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~(h^{2}+b^{2})(h^{2}+(a-x)^{2})=(b+(a-x))^{2}h^{2}~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~h^{4}+h^{2}(b^{2}+(a-x)^{2})+b^{2}(a-x)^{2}=h^{2}(b^{2}+(a-x)^{2})+2h^{2}(a-x)b~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~h^{4}-2h^{2}(a-x)b+b^{2}(a-x)^{2}=0~\Leftrightarrow~(h^{2}-(a-x)b)^{2}=0~\Leftrightarrow~h^{2}=(a-x)b,
Значит,
h^{2}=\left(a-\frac{h^{2}}{a}\right)b~\Rightarrow~h^{2}=\frac{a^{2}b}{a+b},
Следовательно, h=a\sqrt{\frac{b}{a+b}}
.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет НГУ. — 1974 задача 2, вариант 2.
Источник: Журнал «Квант». — 1975, № 4, с. 48, задача 2