17029. Дан треугольник ABC
. Проведена окружность, касающаяся стороны BC
в основании проведённой к ней высоты AD
, равной h
, и проходящая через середину стороны AC
, равной b
. Найдите диаметр этой окружности.
Ответ. \frac{b^{2}}{2h}
.
Решение. Пусть DF=d
— искомый диаметр. Поскольку DE
— медиана прямоугольного треугольника ADC
, проведённая из вершины прямого угла,
DE=\frac{1}{2}AC=AE=\frac{b}{2},
(см. задачу 1109), а \angle EDF=\angle EAD
как углы при основании равнобедренного треугольника AED
. Значит, прямоугольные треугольники DEF
и ADC
подобны по двум углам. Следовательно,
\frac{DF}{AC}=\frac{DE}{AD}~\Rightarrow~d=DF=\frac{AC\cdot DE}{AD}=\frac{b\cdot\frac{b}{2}}{h}=\frac{b^{2}}{2h}.
Примечание. См. также статью Я.Суконника и П.Горнштейна «Простой ответ в ,,сложной`` задаче», Квант, 1976, N2, с.46-49.
Источник: Журнал «Квант». — 1976, № 2, с. 47, задача 2