17031. Через середину хорды круга, равной a
, проведена хорда, равная b
. Найдите отрезки, на которые хорда, равная a
, делится хордой, равной b
.
Ответ. \frac{1}{2}(b\pm\sqrt{a^{2}+b^{2}})
.
Решение. ПУсть M
— середина хорды AB=a
, а хорда CD=b
проходит через точку M
. Обозначим CM=x
. По теореме о произведении отрезков пересекающихся хорд (см. задачу 2627)
AM\cdot MD=AM\cdot MB,~\mbox{или}~\frac{a^{2}}4=x(b-x)~\Leftrightarrow~x^{2}-bx+\frac{a^{2}}{4}=0~\Leftrightarrow~x=\frac{1}{2}(b\pm\sqrt{b^{2}+a^{2}}).
Следовательно, либо CM=\frac{1}{2}(b+\sqrt{a^{2}+b^{2}})
и MD=\frac{1}{2}(b-\sqrt{a^{2}+b^{2}})
, либо CM=\frac{1}{2}(b-\sqrt{a^{2}+b^{2}})
и MD=\frac{1}{2}(b+\sqrt{a^{2}+b^{2}})
.
Источник: Вступительный экзамен на математико-механический факультет ЛГУ (СПбГУ). — 1975
Источник: Журнал «Квант». — 1976, № 4, с. 46, задача 4